Question

19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点且PA=3，PB=1，PC=CD=2，CD⊥PC．
（1）△CAP与△CBD全等吗？请说明理由；
（2）求∠BPC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△CAP与△CBD全等即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△PDB是直角三角形，进而解答即可．

解答 解：（1）△CAP与△CBD全等，理由如下：
∵∠ACB=90°，CD⊥PC，
∴∠ACB=∠PCD=90°，
∴∠ACP=∠BCD，
在△CAP与△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCD}\\{PC=CD}\end{array}\right.$，
∴△CAP≌△CBD（SAS）；
（2）∵△CAP≌△CBD，
∴PA=BD=3，
∵PC=CD=2，CD⊥PC，
∴DP=$\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}=2\sqrt{2}$，∠CPD=45°
∴DP²=8=BD²-PB²=3²-1²=8，
∴△BDP是直角三角形，
∴∠DPB=90°，
∴∠BPC=∠DPB+∠CPD=135°．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△CAP与△CBD全等．