Question

2．AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC．
①求证：DC为⊙O切线；
②若AD•OC=8，求⊙O半径r．

Answer 1

分析 ①连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC是⊙O的切线；
②连接BD，OD．先根据两角对应相等的两三角形相似证明△ADB∽△ODC，再根据相似三角形对应边成比例即可得到r的值．

解答 ①证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵AD∥OC，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD，
∴∠BOC=∠COD．
∵在△OBC与△ODC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{∠BOC=∠DOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠OBC=∠ODC，
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴DC是⊙O的切线；

②解：连接BD．
∵在△ADB与△ODC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠COD}\\{∠ADB=∠ODC=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADB∽△ODC，
∴AD：OD=AB：OC，
∴AD•OC=OD•AB=r•2r=2r²，即2r²=8，
故r=2．

点评 本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．