Question

13．如图，抛物线y=x²-4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q，与x轴交于点T．
（1）这条抛物线的对称轴是直线x=2，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°；
（2）若m=2，求△POQ与△PAQ的面积比；
（3）是否存在实数m，使得点P为线段QT的中点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过解方程x²-4x得A（4，0），则利用对称性得到抛物线的对称轴；直线x=2交x轴于B点，如图，求出B（2，0），Q，2，2+m），T（-m，0），接着判断△BQT为等腰直角三角形，则可判断直线PQ与x轴所夹锐角的度数为45°；
（2）作AE⊥PQ于E，OF⊥PQ于F，如图，求出$\frac{OF}{AE}$=$\frac{1}{3}$，通过三角形面积公式可得到△POQ与△PAQ的面积比；
（3）利用线段的中点坐标公式得到P（$\frac{2-m}{2}$，$\frac{2+m}{2}$），然后把P点坐标代入抛物线解析式得到关于m的方程，再通过解方程可判断是否存在实数m，使得点P为线段QT的中点．

解答 解：（1）当y=0时，x²-4x=0，解得x₁=0，x₂=4，则A（4，0），
所以抛物线的对称轴为直线x=2；
直线x=2交x轴于B点，如图，则B（2，0），
当x=2时，y=2+m，则Q（2，2+m），
当y=0时，x+m=0，解得x=-m，则T（-m，0），
因为BT=|2+m|，QB=|2+m|，
所以BT=QB，
所以△BQT为等腰直角三角形，
所以∠QTB=45°，即直线PQ与x轴所夹锐角的度数为45°；
故答案为直线x=2，45°；
（2）作AE⊥PQ于E，OF⊥PQ于F，如图，
∵OF∥AE，
∴$\frac{OF}{AE}$=$\frac{OT}{AT}$，
当m=2时，T（-2，0），
∴$\frac{OF}{AE}$=$\frac{2}{2+4}$=$\frac{1}{3}$，
∴△POQ与△PAQ的面积比=$\frac{1}{3}$；
（3）存在．
∵T（-m，0），Q（2，2+m），
而P点为TQ的中点，
∴P（$\frac{2-m}{2}$，$\frac{2+m}{2}$），
把P（$\frac{2-m}{2}$，$\frac{2+m}{2}$）代入y=x²-4x得（$\frac{2-m}{2}$）²-4•$\frac{2-m}{2}$=$\frac{2+m}{2}$，
整理得m²+2m-16=0，解得m₁=-1+$\sqrt{17}$，m₂=-1-$\sqrt{17}$，
即m的值为-1+$\sqrt{17}$或-1-$\sqrt{17}$时，使得点P为线段QT的中点．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决（2）小题的关键求出点O和点P到直线PQ的比，解决（3）小题的关键是用m表示出P点坐标．