Question

8．已知a、b为方程x²-4x+1=0的两个根，c、d为方程x²-5x+2=0的两个根，t=$\frac{a}{b+c+d}$+$\frac{b}{a+c+d}$+$\frac{c}{a+b+d}$+$\frac{d}{a+b+c}$，求$\frac{{a}^{2}}{b+c+d}$+$\frac{{b}^{2}}{a+c+d}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b+d}$+$\frac{{d}^{2}}{a+b+c}$（结果用t表示）

Answer 1

分析 根据韦达定理知a+b=4、c+d=5，将t=$\frac{a}{b+c+d}$+$\frac{b}{a+c+d}$+$\frac{c}{a+b+d}$+$\frac{d}{a+b+c}$两边都乘以a+b+c+d，变形后可得t（a+b+c+d）=$\frac{{a}^{2}}{b+c+d}$+a+$\frac{{b}^{2}}{a+c+d}$+b+$\frac{{c}^{2}}{a+b+d}$+c+$\frac{{d}^{2}}{a+b+c}$+d即$\frac{{a}^{2}}{b+c+d}$+$\frac{{b}^{2}}{a+c+d}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b+d}$+$\frac{{d}^{2}}{a+b+c}$=t（a+b+c+d）-（a+b+c+d），代入可得答案．

解答 解：根据题意知，a+b=4，c+d=5，
∵t=$\frac{a}{b+c+d}$+$\frac{b}{a+c+d}$+$\frac{c}{a+b+d}$+$\frac{d}{a+b+c}$，
∴t（a+b+c+d）=$\frac{a（a+b+c+d）}{b+c+d}$+$\frac{b（a+b+c+d）}{a+c+d}$+$\frac{c（a+b+c+d）}{a+b+d}$+$\frac{d（a+b+c+d）}{a+b+c}$
=a（$\frac{a}{b+c+d}+1$）+b（$\frac{b}{a+c+d}+1$）+c（$\frac{c}{a+b+d}+1$）+d（$\frac{d}{a+b+c}+1$）
=$\frac{{a}^{2}}{b+c+d}$+a+$\frac{{b}^{2}}{a+c+d}$+b+$\frac{{c}^{2}}{a+b+d}$+c+$\frac{{d}^{2}}{a+b+c}$+d，
∴$\frac{{a}^{2}}{b+c+d}$+$\frac{{b}^{2}}{a+c+d}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b+d}$+$\frac{{d}^{2}}{a+b+c}$=t（a+b+c+d）-（a+b+c+d）=9t-9．

点评 本题主要考查根与系数的关系，将已知等式两边都乘以a+b+c+d通过变形得到待求代数式是解决此题的关键．