如图1.抛物线y=$\frac{3}{4}$x2+$\frac{15}{4}$x+3与x轴分别交于A.B两点.与y轴交于点C．(1)求A.B.C三点的坐标,(2)点D为线段AC上的一个动点.在运动的过程中.将△ADO以x轴为对称轴翻折.得到点D的对应点为E．求:当点D的坐标为多少时.点E恰好落在抛物线的图象上?并判断此时的四边形AEOD是否为菱形?请说明理由．为抛物线上的动点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．如图1，抛物线y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）点D为线段AC上的一个动点（不与A、C两点重合），在运动的过程中，将△ADO以x轴为对称轴翻折，得到点D的对应点为E．
求：当点D的坐标为多少时，点E恰好落在抛物线的图象上？并判断此时的四边形AEOD是否为菱形？请说明理由．
（3）若点M（m，n）为抛物线上的动点，过点M作y轴的垂线，垂足为N，连接MC，则当m为何值时，△MCN和△AOC相似？请直接写出m的值（与△AOC重合的除外）．

分析（1）根据自变量与函数值的对应关系，当x=0时，可得C点坐标，当y=0时，可得A、B点坐标；
（2）根据待定系数法，可得AC的解析式，根据函数解析式，可得D点坐标，根据D、E关于x轴对称，可得E点坐标，根据E点坐标在抛物线上，可得关于a的方程，根据解方程，可得D点坐标，根据四条边都相等的四边形是菱形，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．

解答解：（1）当y=0时，$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3=0，解得x₁=-4，x₂=-1，即A（-4，0），B（-1，0），
当x=0时，y=3，即C（0，3）；
（2）设AC的解析式为y=kx+b，将A、C坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
AC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3，
设D（a，$\frac{3}{4}$a+3），由D、E关于x轴对称，得E（a，-$\frac{3}{4}$a-3）．
把E点坐标代入抛物线，得$\frac{3}{4}$a²+$\frac{15}{4}$a+3=-$\frac{3}{4}$a-3．
解得a=-2，a=-4（不符合题意要舍去），
D（-2，$\frac{3}{2}$）．
四边形AEDO是菱形，理由如下：
∵△ADO与△AEO关于x轴对称，
∴AD=AE，DO=EO，
∵DE是AO的垂直平分线，
∴AD=DO．
∴AD=AE=DO=EO，
∴四边形AEDO是菱形；
（3）如图：

△MNC∽△AOC时，$\frac{MN}{AO}$=$\frac{CN}{CO}$．
当m＞0时，$\frac{m}{4}$=$\frac{\frac{3}{4}{m}^{2}+\frac{15}{4}m}{3}$，
解得m=0（不符合题意要舍去）或m=-12（不符合题意要舍去）；
当-1＜m＜0时，$\frac{m}{4}$=$\frac{-\frac{3}{4}{m}^{2}-\frac{15}{4}m}{3}$，解得m=0（不符合题意要舍去）m=-6（不符合题意要舍去）；
当-4＜m＜-1时，$\frac{m}{4}$=$\frac{-\frac{3}{4}{m}^{2}-\frac{15}{4}m}{3}$，解得m=0（不符合题意要舍去）m=-6（不符合题意要舍去）；
当m＜-4时，$\frac{m}{4}$=$\frac{\frac{3}{4}{m}^{2}+\frac{15}{4}m}{3}$，
解得m=0（不符合题意要舍去）或m=-12；
综上所述：m=-12时，△MNC∽△AOC．