Question

8．如图1，在圆O中，弦AB和弦CD相交于点M．
（1）求证：$\frac{CM}{AM}=\frac{BM}{DM}$；
（2）若如图2中AB=CD，连接AD，OM并交于点E，则OM与AD有什么关系？请给出结论并证明．

Answer 1

分析 （1）连结AC和BD，证明△AMC∽△DMB，问题即可得证；
（2）连结AO和DO，根据圆心角和圆周角定理即可证得结论．

解答 （1）证明：如图1，连结AC和BD，
∵∠CAM=∠BDM，
∵∠AMC=∠DMB，
∴△AMC∽△DMB，
∴$\frac{DM}{AM}=\frac{BM}{CM}$，
∴$\frac{CM}{AM}=\frac{BM}{DM}$；

（2）OM与AD关系是OM垂直平分AD，
证：如图2，连结AO和DO，
∵AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{AB}$-$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$-$\widehat{BC}$，即$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BAD=∠CDA，
∴AM=DM，
∴M在AD的中垂线上，
∵AO=DO，
∴O在AD的中垂线上，
∴OM垂直平分AD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．