Question

2．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y₁=k₁x+b的图象与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象交于A（1，4），B（3，m）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）结合图象，在x＞0的范围内，谈论y₁与y₂的大小关系；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$，求得反比例函数解析式，把x=3代入反比例函数解析式求出m的值，得到点B的坐标，把A，B坐标代入一次函数即可求得解析式；
（2）已知A、B两点的坐标，观察图象即可得到y₁与y₂的大小关系；
（3）设直线AB：y₁=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$与x轴交于点C，令y=0，求得C点坐标，将△AOB的面积化为两个三角形的面积之差．

解答 解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象上，
∴k₂=1×4=4，
∴反比例函数的解析式为：y₂=$\frac{4}{x}$．
∵B（3，m）在双曲线y₂=$\frac{4}{x}$上，
∴m=$\frac{4}{3}$，
∴B（3，$\frac{4}{3}$）．
∵A（1，4）、B（3，$\frac{4}{3}$）在直线y₁=k₁x+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+b=4}\\{3{k}_{1}+b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
故一次函数的解析式为：y₁=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$；

（2）∵A（1，4）、B（3，$\frac{4}{3}$），
∴结合图象可得：
①当x=1或x=3时，y₁=y₂；
②当0＜x＜1或x＞3时，y₁＜y₂；
③当1＜x＜3时，y₁＞y₂；

（3）设直线AB：y₁=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$与x轴交于点C，
令y=0，得x=4，
所以C（4，0），
则S_△AOB=S_△AOC-S_△COB
=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4}{3}$
=8-$\frac{8}{3}$
=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形的面积，是基础知识要熟练掌握．