Question

18．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．

Answer 1

分析 （1）直接将（-1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；
（2）分别得出AB²=25，AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；
（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，再求△ACM周长最小值．

解答 解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2上，
∴$\frac{1}{2}$×（-1 ）²+b×（-1）-2=0，
解得：b=-$\frac{3}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴顶点D的坐标为：（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；

（2）当x=0时y=-2，∴C（0，-2），OC=2．
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，
解得：x₁=-1，x₂=4，
∴B （4，0），
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB²=25，AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，
∴AC²+BC²=AB²．
∴△ABC是直角三角形．

（3）如图所示：连接AM，
点A关于对称轴的对称点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，
MC+MA的值最小，即△ACM周长最小，
设直线BC解析式为：y=kx+d，则$\left\{\begin{array}{l}{d=-2}\\{4k+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=-2}\\{k=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故直线BC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-2，
当x=$\frac{3}{2}$时，y=-$\frac{5}{4}$，
∴M（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$），
△ACM最小周长是：AC+AM+MC=AC+BC=$\sqrt{5}$+2$\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及利用轴对称求最短路线和勾股定理的逆定理等知识，得出M点位置是解题关键．