Question

1．如图，△ABC中，D，E分别为BC，AB中点，连接EC，AD，且AD与EC交于点F，延长AD至点G使GD=AD，连结CG．
（1）请在图中找出一对全等三角形，并证明．
（2）若AB=x，EB：DF=3：2，试用含x的代数式表示线段AG的长．

Answer 1

分析 （1）由两边及夹角相等，两三角形全等证得结论．
（2）由△ABD≌△GCD，得到∠B=∠GCD，AB=CG，AB∥CN，证得△AEF∽△DCF即可证得结论．

解答 解：（1）△ABD≌△GCD，
证明：∵BD=DC，∠ADB=∠GDC，AD=GD，
在△ABD与△GCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{∠ADB=∠GDC}\\{AD=GD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△GCD（SAS）；

（2）∵△ABD≌△GCD，
∴∠B=∠GCD，AB=CG，
∴AB∥CN，
∴△AEF∽△DCF，
∴$\frac{AF}{FG}$=$\frac{AE}{CG}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，即AF=$\frac{1}{3}$AG，
又∵$\frac{EB}{FD}$=$\frac{3}{2}$，
∴FD=$\frac{1}{3}$x，
∵AD=DG，
∴$\frac{1}{3}$AG+$\frac{1}{3}$x=$\frac{2}{3}$AG-$\frac{1}{3}$x，
解得AG=2x．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，掌握判定和性质定理是解题的关键．