Question

4．经过原点和点A（2，0）的抛物线y=ax²+bx+c与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于B（3，3）．
（1）求抛物线和双曲线解析式；
（2）在y轴上找一点C，使|CA-CB|的值最大．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²+bx+c经过原点，点A（2，0）和点B（3，3），列出方程组，求出a、b和c的值，根据双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点B（3，3）求出k的值；
（2）当点A、B和C在一条直线上时，即|CA-CB|的值最大，设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意列出k和b的方程组，求出直线AB的解析式，令x=0，求出y的值，此时点C坐标求出．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过原点，点A（2，0）和点B（3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=0}\\{9a+3b=3}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线为：y=x²-2x，
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点B（3，3），
∴k=9，
∴双曲线为：y=$\frac{9}{x}$；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（2，0），B（3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{3k+b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=3x-6，
当点A、B和C在一条直线上时，即BC-CA的值最大，
即AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
令x=0，y=-6，
即点C的坐标为（0，-6）．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，此题涉及到待定系数法求二次函数的解析式和一次函数解析式，求反比例函数的性质，解答本题的关键是求出直线AB的解析式，此题难度一般．