Question

1．如图，正方形ABCD，E，F分别为BC、CD边上一点．
①若∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF；
②若△AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45°，问△CEF的周长是否随△AEF位置的变化而变化？

Answer 1

分析 ①先根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=∠B=90°，由旋转的性质得出AE′=AE，DE′=BE，∠E′AE=90°，∠ADE′=∠ADC=90°，证出∠E′AF=∠EAF，由SAS证明△E′AF≌△EAF，得出E′F=EF，即可得出结论；
②△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=CB+CD，即可得出结论．

解答 ①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=CB=CD，∠BAD=∠B=90°，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°可得到△ADE′，
∴AE′=AE，DE′=BE，∠E′AE=90°，∠ADE′=∠ADC=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠E′AF=∠E′AE-∠EAF=45°，
∴∠E′AF=∠EAF，
在△E′AF和△EAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE′=AE}&{\;}\\{∠E′AF=∠EAF}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△E′AF≌△EAF（SAS），
∴E′F=EF，
∵E′F=DE′+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
②解：不变化；理由如下：
△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=CB+CD．
∴△CEF的周长不随△AEF位置的变化而变化．

点评 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识；熟练掌握旋转和正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．