Question

13．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=30°，CD、BE交于点O，连接OA
（1）如图1，求证：△ABE≌△ACD；
（2）如图1，求∠AOE的大小；
（3）当绕点A旋转至如图2所示位置时，若∠BAC=∠DAE=α，∠AOE=90°+$\frac{1}{2}α$．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质性质，可得∠BAE=∠CAD，由SAS证明△ABE≌△ACD即可；
（2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠ABC=∠ACB=75°，根据全等三角形的性质得出∠ABO=∠ACO．∠AEO=∠ADO，证出A、B、C、O四点共圆，A、D、E、O四点共圆，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得出∠AOD=∠ABC=75°，∠DOE=∠DAE=30°，得出∠AOE=∠AOD+∠DOE=105°即可；
（3）同（2），即可得出结果．

解答 （1）证明：∵∠BAC=∠DAE=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAE=∠CAD}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°--30°）=75°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABO=∠ACO．∠AEO=∠ADO，
∴A、B、C、O四点共圆，A、D、E、O四点共圆，
∴∠AOD=∠ABC=75°，∠DOE=∠DAE=30°，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=75°+30°=105°；
（3）解：同（2）得：∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°--α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠AOD=∠ABC=90°-$\frac{1}{2}$α，∠DOE=∠DAE=α，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°-$\frac{1}{2}$α+α=90°+$\frac{1}{2}$α；
故答案为：90°+$\frac{1}{2}α$．

点评 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等和四点共圆是解决问题的关键．