Question

11．问题背景
（1）如图，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：四边形DBFE的面积S=6，△EFC的面积S₁=9，△ADE的面积S₂=1
探究发现
（2）在（1）中，若BF=a，FC=b，DE与BC间的距离为h．请证明S²=4S₁S₂．
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（3）如图，?DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质即可解决问题．
（2）根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质，分别求出S₁、S₂即可解决问题．
（3）过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，利用（2）的结论求出□DBHG的面积，△GHC的面积即可．

解答 解：（1）∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴S=2×3=6，S₁=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF
∴△ADE∽△EFC
∴$\frac{{s}_{2}}{{s}_{1}}$=（$\frac{DE}{CF}$）²=$\frac{1}{9}$，
∴S₂=1，
故答案为6，9，1．

（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB
∴四边形DBFE为平行四边形，
∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF
∴△ADE∽△EFC．
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=（$\frac{DE}{FC}$）²=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$，
∵S₁=$\frac{1}{2}$bh，
∴S₂=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$×S₁=$\frac{{a}^{2}h}{2b}$，
∴4S₁S₂=4×$\frac{1}{2}$bh×$\frac{{a}^{2}h}{2b}$=（ah）²而S=ah，
∴S²=4S₁S₂．

（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形．

∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG=EF．
∴BH=EF．
∴BE=HF，
∴△DBE≌△GHF．
∴△GHC的面积为5+3=8．
由（2）得，□DBHG的面积为$\sqrt{4×2×8}$=8，
∴△ABC的面积为2+8+8=18．

点评 本题考查四边形综合题、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会转化的思想，把问题转化为我们熟悉的题型，属于中考压轴题，