Question

4．在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y=x和双曲线y=$\frac{1}{x}$相交于点A、B，且AC+BC=4，则△OAB的面积为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$+3或2$\sqrt{3}$-3
• B． $\sqrt{2}$+1或$\sqrt{2}$-1
• C． 2$\sqrt{3}$-3
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 根据题意表示出AC，BC的长，进而得出等式求出m的值，进而得出答案．

解答 解：如图所示：设点C的坐标为（m，0），则A（m，m），B（m，$\frac{1}{m}$），
所以AC=m，BC=$\frac{1}{m}$．
∵AC+BC=4，
∴可列方程m+$\frac{1}{m}$=4，
解得：m=2±$\sqrt{3}$．
故$\frac{1}{m}$=2±$\sqrt{3}$，
所以A（2+$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$），B（2+$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$）或A（2-$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$），B（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$），
∴AB=2$\sqrt{3}$．
∴△OAB的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×（2±$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$±3．
故选：A．

点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确表示出各线段长是解题关键．