Question

5．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，求证：
（1）AE∥CF；
（2）BE=DF．

Answer 1

分析 （1）先由平行四边形的性质可得：AD∥BC、∠BAD=∠BCD，进而可得AF∥CE，然后由AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，可得∠BAE=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠BCF=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD，从而可得∠DAE=∠BCF，然后由AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠DAE=∠BEA，从而可得∠BEA=∠BCF，然后由同位角相等，两直线平行即可判断AE∥CF；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证明四边形AECF是平行四边形，再利用平行四边形的性质解答即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC、∠BAD=∠BCD，
∴∠DAE=∠BEA，AF∥EC，
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAE=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠BCF=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF，
∴∠BEA=∠BCF，
∴AE∥CF；
（2）∵AE∥CF，AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
∵AD=BC，
∴BE=DF．

点评 本题考查了平行四边形的性质以及判定方法，证明∠AEB=∠FCB，得到AE∥CF是证明的关键．