Question

15．如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．如果AB=5，AD=9．那么PE+PF的值．

Answer 1

分析 连接PO，过D作DM⊥AC于M，求出AC、DM，根据三角形面积公式得出PE+PF=DM，即可得出答案．

解答 解：连接PO，过D作DM⊥AC于M，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AB=CD=5，AD=9，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OD，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{106}$，
∴OA=OD=$\frac{\sqrt{106}}{2}$，
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$×5×9=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{106}}{2}$×DM，
∴DM=$\frac{45\sqrt{106}}{53}$，
∵S_AOD=S_△APO+S_△DPO，
∴$\frac{1}{2}$AO×PE+$\frac{1}{2}$OD×PF=$\frac{1}{2}$×AO×DM，
∴PE+PF=DM=$\frac{45\sqrt{105}}{53}$．

点评 本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，关键是求出DM长和得出PE+PF=DM．