如图.在平面直角坐标系中.⊙A的半径为1.圆心A点的坐标为.直线OB是一次函数y=x的图象.让⊙A沿x轴负方向以每秒1个单位长度移动.移动时间为t(1)直线OB与x轴所夹的锐角度数为45°,(2)当⊙A与坐标轴有四个公共点时.t的取值范围为3$\sqrt{2}$-＜t＜3$\sqrt{2}$+1,(3)求出运动过程中⊙A与直线OB相切时的t的值,(4)运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（3$\sqrt{2}$，0），直线OB是一次函数y=x的图象，让⊙A沿x轴负方向以每秒1个单位长度移动，移动时间为t
（1）直线OB与x轴所夹的锐角度数为45°；
（2）当⊙A与坐标轴有四个公共点时，t的取值范围为3$\sqrt{2}$-＜t＜3$\sqrt{2}$+1；
（3）求出运动过程中⊙A与直线OB相切时的t的值；
（4）运动过程中，当⊙A与直线OB相交所得的弦长为1时，直接写出t的值．

分析（1）过B点作BH⊥x轴于H，如图，设B（t，t），则BH=OH，于是可判断△OBH为等腰直角三角形，所以∠BOH=45°；
（2）当⊙A运动到与y轴相切时，如图1，⊙A′与⊙A″与y轴相切，根据切线的性质得OA′=OA″=1，则利用等腰直角三角形的性质得AA′=3$\sqrt{2}$-1，AA″=3$\sqrt{2}$+1，所以当⊙A与坐标轴有四个公共点时，t的取值范围为3$\sqrt{2}$-＜t＜3$\sqrt{2}$+1．
（3）当⊙A与直线OB相切时，如图2，⊙A′与⊙A″与OB相切，作A′M′⊥OB于M′，A″M″⊥OB于M″，根据切线的性质得A′M′=A″M″=1，利用等腰直角三角形的性质得OA′=OA″=$\sqrt{2}$，所以AA′=2$\sqrt{2}$，AA″=4$\sqrt{2}$，于是可判断运动过程中⊙A与直线OB相切时的t的值为2$\sqrt{2}$或4$\sqrt{2}$；
（4）设⊙A′交直线OB于C、D，则CD=1，如图3，作A′E⊥OB于E，连接A′C，根据垂径定理得CE=DE=$\frac{1}{2}$，在Rt△A′CE中，利用勾股定理得AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在Rt△OA′E中利用等腰直角三角形的性质得OA′=$\sqrt{2}$A′E=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，同理可得OA″=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以AA′=3$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AA″=3$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，然后计算出对应的时间即可．

解答解：（1）过B点作BH⊥x轴于H，如图，
设B（t，t），则BH=OH，
∴△OBH为等腰直角三角形，
∴∠BOH=45°，
即直线OB与x轴所夹的锐角度数为45°；
（2）当⊙A运动到与y轴相切时，如图1，⊙A′与⊙A″与y轴相切，
∵OA′=OA″=1，
∴AA′=3$\sqrt{2}$-1，AA″=3$\sqrt{2}$+1，
∴当⊙A与坐标轴有四个公共点时，t的取值范围为3$\sqrt{2}$-＜t＜3$\sqrt{2}$+1．
故答案为45°，3$\sqrt{2}$-＜t＜3$\sqrt{2}$+1．
（3）当⊙A与直线OB相切时，如图2，⊙A′与⊙A″与OB相切，
作A′M′⊥OB于M′，A″M″⊥OB于M″，则A′M′=A″M″=1，
∵直线OB与x轴所夹的锐角度数为45°，
∴△OA′M′和△OA″M″，
∴OA′=OA″=$\sqrt{2}$，
∴AA′=2$\sqrt{2}$，AA″=4$\sqrt{2}$，
∴运动过程中⊙A与直线OB相切时的t的值为2$\sqrt{2}$或4$\sqrt{2}$；
（4）设⊙A′交直线OB于C、D，则CD=1，
如图3，作A′E⊥OB于E，连接A′C，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$，
在Rt△A′CE中，AE=$\sqrt{A′{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△OA′E中，OA′=$\sqrt{2}$A′E=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
同理可得OA″=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AA′=3$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AA″=3$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
此时t的值为=3$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或3$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．