Question

9．将一副三角板按如图方法摆放在一起，连接AC，则tan∠DAC值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 先过点C作CE⊥AD于E，设CD=a，在Rt△BDC中，利用三角函数，可求BD，在Rt△DBA中，利用三角函数，可求AD，易证△CED是等腰直角三角形，从而利用三角函数可求CE、DE，于是在Rt△CAE中，可求tan∠EAC=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{CE}{AD-DE}$，即tan∠DAC的值．

解答 解：如图所示，过点C作CE⊥AD于E，

设CD=a，
在Rt△BDC中，∠DBC=30°，则
BD=cot30°×CD=$\sqrt{3}$a，
在Rt△DBA中，AD=sin45°×BD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
又∵CE⊥AD，∠BDA=45°，
∴DE=CE=sin45°×a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴在Rt△CAE中，tan∠EAC=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{CE}{AD-DE}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{\sqrt{6}}{2}a-\frac{\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
即tan∠DAC=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了直角三角形的性质、特殊三角函数值．解本题最关键的是作辅助线CE，构造直角三角形．