Question

20．某企业生成一种节能产品，投放市场供不应求．若该企业每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于120万元．已知这种产品的月产量x（套）与每套的售价y₁（万元）之间满足关系式y₁=190-2x．月产量x（套）与生成总成本y₂（万元）存在如图所示的函数关系．
（1）直接写出y₂（2）与x之间的函数关系式；
（3）求月产量x的取值范围；
（4）当月产量x（套）为多少时，这种产品的利润W（万元）最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据题意可以设出y₂与x之间的函数关系式，然后根据图象中的数据即可求得函数的解析式；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围；
（3）根据题意可以得到W与x函数关系式，然后化为顶点式，再根据x的取值范围，即可求得W的最大值．

解答 解：（1）设y₂与x的函数关系式为y₂=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{1400=30k+b}\\{1700=40k+b}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=30}\\{b=500}\end{array}\right.$，
∴y₂与x之间的函数关系式是y₂=30x+500；
（2）由题意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{190-2x≥120}\\{\frac{30x+500}{x}≤50}\end{array}\right.$，
解得，25≤x≤35，
即月产量x的取值范围是25≤x≤35；
（3）由题意可得，
W=x[190-2x-$\frac{30x+500}{x}$]=-2（x-40）²+2700，
∵25≤x≤35，
∴x=35时，W取得最大值，此时W=2650，
即当月产量x（套）为35套时，这种产品的利润W（万元）最大，最大利润是2650万元．

点评 本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答此类题目的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的顶点式求函数的最值，注意自变量的取值范围．