Question

17．如图，在△ABC中，AB=4，D是AB上的一点（不与点A、B重合），DE∥BC，交AC于点E，则$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ABC}}}}$的最大值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 设AD=x，$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=y，求出$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{16}$x²①，$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△DEC}}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{x}{4-x}$②，①÷②即可得出y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围，于是得到y=$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x=-$\frac{1}{16}$（x-2）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，即可得到结论．

解答 解：设AD=x，$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=y，
∵AB=4，AD=x，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AD}{AB}$）²=（$\frac{x}{4}$）²，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{16}$x²①，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∵AB=4，AD=x，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{x}{4}$，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{x}{4-x}$，
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△DEC}}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{x}{4-x}$②，
①÷②得：
∴y=$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x，
∵AB=4，
∴x的取值范围是0＜x＜4；
∴y=$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=-$\frac{1}{16}$（x-2）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ABC}}}}$的最大值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积的计算方法，二次函数的最值问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．