Question

15．如图①，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．
（1）问题发现：若∠ABC=∠EDC=90°，则$\frac{AE}{BD}$=$\sqrt{2}$；
（2）拓展探究，若∠ABC=∠EDC=120°，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转到如图②所示的位置，则$\frac{AE}{BD}$的大小有无变化？若不变，请加以证明；若变化，请求出$\frac{AE}{BD}$的值．
（3）问题解决：当△EDC旋转到如图③所示的位置时，若∠ABC=∠EDC=2α（0°＜α＜90°），则$\frac{AE}{BD}$的值为2sinα（用含a的式子表示）

Answer 1

分析 （1）如图1中，作EF⊥AB于F．首先证明四边形BDEF是矩形，再证明在Rt△AEF中，根据tan∠A=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$即可解决问题．
（2）由△ABC∽△EDC，推出$\frac{BC}{DC}$=$\frac{AC}{CE}$，即$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DC}{EC}$，推出△ACE∽△BCD，推出$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EC}{DC}$，在△EDC中，过点D作DH⊥EC于点H，则EC=2CH，在Rt△CDH中，CH=CD•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，推出EC=$\sqrt{3}$CD，即可解决问题．
（3）只要证明$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EC}{DC}$=2sinα，即可，方法类似（2）．

解答 解：（1）如图1中，作EF⊥AB于F．

∵∠FBD=∠BDE=∠EFB=90°，
∴四边形BDEF是矩形，
∴EF=BD，
在Rt△AEF中，∵∠AFE=90°，∠A=45°，
∴tan∠A=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$EF，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\sqrt{2}$，
故答案为$\sqrt{2}$

（2）如图2中，

由题意知，△ABC和△EDC都是等腰三角形，且∠ABC=∠EDC=120°，
∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{BC}{DC}$=$\frac{AC}{CE}$，即$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DC}{EC}$，
又∠ECD+∠DCA=∠ACB+∠DCA，
∴∠DCB=∠ECA，
∴△ACE∽△BCD，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EC}{DC}$，
在△EDC中，过点D作DH⊥EC于点H，则EC=2CH，
在Rt△CDH中，CH=CD•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，
∴EC=$\sqrt{3}$CD．
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EC}{DC}$=$\sqrt{3}$．
  
（3）如图3中，

由题意知，△ABC和△EDC都是等腰三角形，且∠ABC=∠EDC=2α，
∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=90°-α，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{BC}{DC}$=$\frac{AC}{CE}$，即$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DC}{EC}$，
又∠ECD+∠DCA=∠ACB+∠DCA，
∴∠DCB=∠ECA，
∴△ACE∽△BCD，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EC}{DC}$，
在△EDC中，过点D作DH⊥EC于点H，则EC=2CH，∠CDH=∠HDE=α，
在Rt△CDH中，CH=CD•sinα，
∴EC=2CD•sinα．
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EC}{DC}$=2sinα，
故答案为2sinα

点评 本题课程是三角形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．