Question

5．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B．C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．
①探究BD与CF之间的位置关系，并说明理由；
②当AB=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{3}+1$时，求线段DH的长．

Answer 1

分析 （1）结论：BD=CF．只要证明△ABD≌△ACF即可．
（2）①在利用“8字型”证明∠FHN=∠DAN=90°，即可解决问题．
②如图4中，连接DF，延长AB，与DF交于点M．在Rt△ADM中，求出BM、DM，再利用勾股定理即可解决问题．

解答 （l）解：如图2中，BD=CF成立．

理由：由旋转得：AC=AB，∠CAF=∠BAD=θ；AF=AD，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF．

（2）①证明：如图3中，

由（1）得，△ABD≌△ACF，
∴∠HFN=∠ADN，
∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠AND=90°
∴∠HFN+∠HNF=90°
∴∠NHF=90°，
∴HD⊥HF，即BD⊥CF．

②如图4中，连接DF，延长AB，与DF交于点M．

∵四边形ADEF是正方形，
∴∠MDA=45°，
∵∠MAD=45°
∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°，
∴AM=DM，
∵AD=$\sqrt{3}$+1，
在△MAD中，AM²+DM²=AD²，
∴AM=DM=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴MB=AM-AB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△BMD中，BM²+DM²=BD²，
∴BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=2．
在Rt△ADF中，AD=$\sqrt{3}$+1，
∴DF=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
由②知，HD⊥HF，
∴∠DHF=∠DMB=90°，
∵∠BDM=∠FDH，
∴△BDM∽△FDH，
∴$\frac{BD}{DF}=\frac{DM}{DH}$，
∴DH=$\frac{DF•DM}{BD}$=$\frac{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{2}$=2+$\sqrt{3}$．

点评 此题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．