Question

18．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD至点C，使得DC=BD，连接AC，OC．若AB=5，BD=$\sqrt{5}$，则OC的长为（　　）

• A． 4
• B． $\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$
• C． $\frac{9}{5}$$\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{65}}{2}$

Answer 1

分析 连接AD，作OH⊥BC于H．利用勾股定理求出AD，利用三角形中位线定理求出OH，在Rt△OHC中，根据OC=$\sqrt{O{H}^{2}+C{H}^{2}}$即可解决问题．

解答 解：连接AD，作OH⊥BC于H．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∴在直角△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{25-5}$=2$\sqrt{5}$，
∵OH⊥BC，AD⊥BC，
∴OH∥AD，∵OB=OA，
∴BH=HD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，OH=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{5}$，CH=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
在Rt△OCH中，OC=$\sqrt{O{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$．
故选D．

点评 本题考查圆的有关知识、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．