Question

3．如图，在Rt△BCA中，∠C=90°，AC=3，BC=4，过点C作CA₁⊥AB，垂足为点A₁，再过点A₁作A₁C₁⊥BC，垂足为点C₁，…按以上的方法继续作下去，得到Rt△A₅C₅C₄，求线段A₅C₅的长．

Answer 1

分析 在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，又因为CA₁⊥AB，于是得到$\frac{1}{2}$AB•CA₁=$\frac{1}{2}$AC•BC，得到CA₁=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$．同理可证明Rt△CAB∽Rt△C₁CA₁，求得A₁C₁=$\frac{48}{25}$=3×（$\frac{4}{5}$）²，同理可得A₂C₁=3×（$\frac{4}{5}$）³，A₂C₂=3×（$\frac{4}{5}$）⁴，A₃C₂=3×（$\frac{4}{5}$）⁵，A₃C₃=3×（$\frac{4}{5}$）⁶，推出A_nC_n=3×（$\frac{4}{5}$）²ⁿ．于是得到结论．

解答 解：∵在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
又∵CA₁⊥AB
∴$\frac{1}{2}$AB•CA₁=$\frac{1}{2}$AC•BC，
即CA₁=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$．
同理可证明Rt△CAB∽Rt△C₁CA₁，
∴$\frac{BC}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{AB}{{A}_{1}C}$，$\frac{4}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{5}{\frac{12}{5}}$，
∴A₁C₁=$\frac{48}{25}$=3×（$\frac{4}{5}$）²，
同理可得A₂C₁=3×（$\frac{4}{5}$）³，
A₂C₂=3×（$\frac{4}{5}$）⁴，
A₃C₂=3×（$\frac{4}{5}$）⁵，
A₃C₃=3×（$\frac{4}{5}$）⁶，
∴A_nC_n=3×（$\frac{4}{5}$）²ⁿ．
∴A₅C₅=3×$\frac{{4}^{10}}{{5}^{10}}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理和规律型问题的解决方法．