Question

8．如图，CA=CB，E在BC上，且CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，AE的延长线交BD于F，连接CF．
（1）求证：AE=BD；
（2）求证：CF平分∠AFD．

Answer 1

分析 （1）根据SAS定理得出△ACE≌△BCD即可得出结论；
（2）过点C作CG⊥AF，CH⊥BD，垂足分别为G、H，由AAS定理得出△ACG≌△BCH，故CG=CH，故可得出结论．

解答 （1）证明：在△ACE与△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}CA=CB\\∠ACB=∠DCE\\ CE=CD\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD；

（2）证明：过点C作CG⊥AF，CH⊥BD，垂足分别为G、H，
∵由（1）知，△ACE≌△BCD，
∴∠CAG=∠CBH，AC=BC．
在△ACG与△BCH中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠CAG=∠CBH\\∠AGC=∠BHC=90°\\ AC=BC\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCH（AAS），
∴CG=CH，
∴CF平分∠AFD．

点评 本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．