Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E．又点F在DE的延长线上，且AF=CE．
（1）求证：点E是AB的中点；
（2）求证：四边形ACEF是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）由线段垂直平分线和已知条件得出DE是△ABC的中位线，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出证出AF∥CE，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，DE是BC的中垂线，
∴DE⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴DE∥AC，
又∵D为BC中点，DF∥AC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E为AB边的中点；
（2）证明：∵E为AB边的中点，
∴CE=AE=BE，
∵AF=CE，
∴CE=AE=AF，
∴∠ECA=∠EAC，∠AEF=∠F，
∵DE∥AC，
∴∠EAC=∠AEF，∠FEC+∠ECA=180°，
∴∠ECA=∠F，
∴∠FEC+∠F=180°，
∴AF∥CE，
∴四边形ACEF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，与三角形中位线定理得出E为AB边的中点是解决问题的关键．