Question

5．如图，AD是△ABC的中线，线段AC与DE互相平分．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若BC=5，AC=4，AB=a，要使四边形ADCE是菱形，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的判定得出四边形ADCE是平行四边形，根据平行四边形的性质求出AE∥DC，AE=DC，求出BD=AE，BD∥AE，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）根据菱形的性质得出BD=DC=AD，求出∠BAC=90°，根据勾股定理求出即可．

解答 （1）证明：∵线段AC与DE互相平分，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE∥DC，AE=DC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
即BD=AE，BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形；

（2）解：∵四边形ADCE是菱形，
∴AD=DC=BD，
∴∠BAC=90°，
由勾股定理得：AB=a=$\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
即a=3．

点评 本题考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的性质和判定的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．