Question

4．如图，在平面直角坐标系中，矩形A0BC的顶点B、A分别在x轴和y轴上，对角线AB的垂直平分线EF分别交y轴、x轴、AB、AC和BC的延长线于点E、M、P、N、F，对角线AB所在直线的解析式为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+3$．
（1）求点M、N的坐标；
（2）求多边形AEMBFN（阴影部分）的周长．

Answer 1

分析 （1）先确定出点A，B坐标，用勾股定理求出AB，再用勾股定理求出MB，进而判断出△APN≌△BPM，最后确定出AN=BM=2$\sqrt{3}$即可；
（2）先求出∠AEP=∠BFP=30°，进而求出AE=BF=6，EM=FN=2$\sqrt{3}$即可；

解答 （1）解：∵直线AB的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3
∴点A坐标（0，3）点B坐标（3$\sqrt{3}$，0）
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{C}^{2}}$=6
∴∠ABO=30°，∠BAO=60°
∵EF是AB的垂直平分线
∴AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=3
在Rt△BPM中，设MP=x，则MB=2x
∴x²+3²=（2x）²解的 x=$\sqrt{3}$（舍负）
∴MB=$2\sqrt{3}$
∴点M坐标为（$\sqrt{3}$，0）
在△APN和△BPM中$\left\{\begin{array}{l}{∠PAN=∠PBM}\\{PA=PB}\\{∠APN=∠BPM}\end{array}\right.$，
∴△APN≌△BPM
∴AN=BM=2$\sqrt{3}$，
∴点N坐标为（2$\sqrt{3}$，3），
（2）由（1）知，∠ABO=30°，
∴∠BMF=60°，
∵∠FBM=90°，
∴∠BFM=30°，
∵OE∥BF
∴∠AEP=∠BFP=30°
∴AE=BF=6
∴EM=FN=2$\sqrt{3}$
∴多边形AEMBFN的周长=6+2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$+6+2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=12+8$\sqrt{3}$．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了，中垂线，全等三角形的性质和判定，求线段的长，解本题的关键是△APN≌△BPM．