Question

18．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x²-4x+m分解因式后有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：方法一：设另一个因式为（x+n），得x²-4x+m=（x+3）（x+n），则x²-4x+m=x²+（n+3）x+3n，∴$\left\{\begin{array}{l}{n+3=-4}\\{m=3n}\end{array}\right.$，解得：n=-7，m=-21，∴另一个因式为（x-7），m的值为-21．
方法二：设x²-4x+m=k（x+3）（k≠0），当x=-3时，左边=（-3）²-4（-3）+m，右边=0，∴（-3）²-4（-3）+m=0，解得：m=-21，x²-4x+m=x²-4x-21=（x-7）（x+3），∴n=-7∴另一个因式为（x-7），m的值为-21．
仿照以上方法一或方法二解答下面2个问题：
（1）已知二次三项式8x²-14x-k分解因式后有一个因式是（2x-3），求另一个因式以及k的值；
（2）已知三次四项式ax³-x²-4x+c分解因式后有2个因式分别是（x-1）与（x+2），求这个多项式分解因式后的第3个因式以及a，c的值．

Answer 1

分析 （1）先将8x²-14x-k解成一个因式是（2x-3），设另一个因式是（4x+b），则（2x-3）（4x+b）=8x²+2bx-12x-3b=8x²+（2b-12）x-3b=8x²-14x-k，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值；
（2）根据已知二次三项式因式分解的结果，推理表示出第3个因式，利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出a与c的值，即可确定出第3个因式．

解答 解：（1）设另一个因式是（4x+b），则（2x-3）（4x+b）=8x²+2bx-12x-3b=8x²+（2b-12）x-3b=8x²-14x-k，
$\left\{\begin{array}{l}{2b-12=-14}\\{3b=k}\end{array}\right.$，
解得：b=-1，k=-3，
因此另一个因式是4x-1，k=-3．
（2）根据题意得：ax³-x²-4x+c=（ax-$\frac{1}{2}$c）（x-1）（x+2）=（ax-$\frac{1}{2}$c）（x²+x-2）=ax³+（a-$\frac{1}{2}$c）x²-（2a+$\frac{1}{2}$c）x+c，
可得a-$\frac{1}{2}$c=-1，2a+$\frac{1}{2}$c=4，
解得：a=1，c=4，
则第3个因式为（x-2），a=1，c=4．

点评 本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．