Question

19．在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D．
（1）如图1，当∠ABC=90°时，若CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F．
①求证：△BEF是等腰三角形；
②求证：BD=$\frac{1}{2}$（BC+BF）；
（2）点E在AB边上，连接CE．若BD=$\frac{1}{2}$（BC+BE），在图2中补全图形，判断∠ACE与∠ABC之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE与∠ABC关系的思路．

Answer 1

分析 （1）①根据∠ABC=90°，∠FDC=90°，以及∠ECB=∠ACE=22.5°，即可得到∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°，即可判定△BEF是等腰三角形；
②延长AB至M，使得BM=AB，连接CM，根据三角形中位线定理可得BD∥CM，BD=$\frac{1}{2}$CM，再根据∠BFE=∠MCE=∠BEF，可得EM=MC，进而得出BD=$\frac{1}{2}$EM=$\frac{1}{2}$（BC+BF）；
（2）与（1）②同理可得BD∥PC，BD=$\frac{1}{2}$PC，BP=BC；由BD=$\frac{1}{2}$（BC+BE），可证明△PEC和△BEF分别是等腰三角形；由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°以及∠FCD+∠DFC=90°，可得$\frac{180°-∠EBF}{2}$=90°-∠DCF，即可得到∠ACE与∠ABC之间的数量关系：∠ACE=$\frac{1}{4}$∠ABC．

解答 解：（1）①在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD，AD=CD，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB=∠ACE=22.5°，
∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°，
∴BE=BF，
∴△BEF是等腰三角形；

②如图，延长AB至M，使得BM=AB，连接CM，
∴BD∥CM，BD=$\frac{1}{2}$CM，
∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°，
∠BFE=∠MCE，
∴BC=BM，
由①得，∠BEF=∠BFE，BE=BF，
∴∠BFE=∠MCE=∠BEF，
∴EM=MC，
∴BD=$\frac{1}{2}$EM=$\frac{1}{2}$（BC+BF）；

（2）∠ACE=$\frac{1}{4}$∠ABC．
求解∠ACE与∠ABC关系的思路：
a，延长AB至P，使得BP=AB，连接CP，与（1）②同理可得BD∥PC，BD=$\frac{1}{2}$PC，BP=BC；
b，由BD=$\frac{1}{2}$（BC+BE），可证明△PEC和△BEF分别是等腰三角形；
c，由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°以及∠FCD+∠DFC=90°，可得$\frac{180°-∠EBF}{2}$=90°-∠DCF，即可证明∠ACE=$\frac{1}{4}$∠ABC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形．