Question

11．如图，等边△AOB中点O是原点，点A在y轴上，点B的坐标是（2$\sqrt{3}$，2），小明做一个数学实验，在x轴上取一动点C，以AC为一边画出等边△ACP，移动点C时，探究点P的位置变化情况．
（1）如图，小明将点C移至x轴负半轴，在AC的右侧画出等边△ACP，并使得顶点P在第三象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP；
（2）小明在x轴上移动点C，并在AC的右侧画出等边△ACP时，发现点P在某函数图象上，请求出点P所在函数图象的解析式．
（3）小明在x轴上移动点C点时，若在AC的左侧画出等边△ACP，点P会不会在某函数图象上？若会在某函数图象上，请直接写出该函数图象的解析式，若不在某函数图象上，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质，根据SAS根据解决问题．
（2）首先证明点P在过点A且与AB垂直的直线上，求出特殊点（P在y轴上的点），利用待定系数法即可解决问题．
（3）如图作B的对称点B′，连接AB′，OB′．由（2）可知，P′B′⊥AB′，同法可得直线P′B′的解析式为t=-$\sqrt{3}$x-4．

解答 （1）证明：如图，

∵△AOB与△ACP都是等边三角形，
∴OA=AB，A=AP，CAP=∠OAB=60°．
∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO．
∴∠CAO=∠PAB．
在△AOC与△PAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AB}\\{∠CAO=∠PAB}\\{AC=AP}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△ABP．

（2）解：由（1）可知，△AOC≌△ABP，
∴∠COA=∠PBA=90°，
∴点P在过点B且与AB垂直的直线上，
在等边△AOB中，B（2$\sqrt{3}$，2），
∴AB=4，
当点C移动，使得P在y轴上时，
∵△PAB是直角三角形，∠PAB=60°，
∴PA=$\frac{AB}{cos60°}$=8，
∴P（0，-4），
设直线PB的解析式为y=kx-4，把B（2$\sqrt{3}$，2）代入得到k=$\sqrt{3}$，
∴点P所在函数图象的解析式为y=$\sqrt{3}$x-4．

（3）会在函数的图象上，如图作B的对称点B′，连接AB′，OB′．

由（2）可知，P′B′⊥AB′，同法可得直线P′B′的解析式为t=-$\sqrt{3}$x-4．
∴该函数图象的解析式为y=-$\sqrt{3}$x-4．

点评 本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，其中全等三角形，熟练正确待定系数法确定函数解析式，属于中考压轴题．