Question

4．平面直角坐标系xOy中，已知函数y₁=$\frac{4}{x}$（x＞0）与y₂=-$\frac{4}{x}$（x＜0）的图象如图所示，点A、B是函数y₁=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上的两点，点P是y₂=-$\frac{4}{x}$（x＜0）的图象上的一点，且AP∥x轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（m≠n）．
（1）求△APQ的面积；
（2）若△APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标；
（3）若△OAB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值．

Answer 1

分析 （1）先求出点A的坐标，进而得出点P的坐标，最后用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）分三种情况，利用等腰直角三角形和AP∥x轴建立方程求解即可；
（3）利用等腰三角形的两腰相等建立方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A、B是函数y₁=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上的两点，
∴A（m，$\frac{4}{m}$），B（n，$\frac{4}{n}$），
∵AP∥x轴，
∴点P的纵坐标为$\frac{4}{m}$，
∵点P是y₂=-$\frac{4}{x}$（x＜0）的图象上的一点，
∴x=-m，
∴P（-m，$\frac{4}{m}$），
∴AP=2m，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•yA=$\frac{1}{2}$•2m•$\frac{4}{m}$=4；

（2）∵△APQ是等腰直角三角形，
∴①当∠APQ=90°时，
∴PQ⊥x轴，
∴PQ=$\frac{4}{m}$，
∵AP=2m，
∵AP=PQ，
∴2m=$\frac{4}{m}$，
∴m=-$\sqrt{2}$（舍）或m=$\sqrt{2}$，
∴P（-$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
∴Q（-$\sqrt{2}$，0），

②当∠PAQ=90°，
∴AQ⊥x轴，
∴AQ=$\frac{4}{m}$，
∵AP=2m，
∵AP=PQ，
∴2m=$\frac{4}{m}$，
∴m=-$\sqrt{2}$（舍）或m=$\sqrt{2}$，
∴A（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
∴Q（$\sqrt{2}$，0），

③当∠AQP=90°时，AQ=PQ，
∵AP∥x轴，
∴点Q是AP的垂直平分线上，
∵函数y₁与y₂关于y轴对称，
∴点Q（0，0），此时，$\frac{4}{m}$=m，即m=-2（舍）或m=2，
综上所述，满足条件的点Q为（-$\sqrt{2}$，0），（0，0），（$\sqrt{2}$，0）；

（3）∵A（m，$\frac{4}{m}$），B（n，$\frac{4}{n}$），
∴OA²=m²+（$\frac{4}{m}$）²，OB²=n²+（$\frac{4}{n}$）²，
∵△OAB是以AB为底的等腰三角形，
∴OA=OB，
∴OA²=OB²，
∴m²+（$\frac{4}{m}$）²=n²+（$\frac{4}{n}$）²，
∴m²-n²=（$\frac{4}{n}$）²-（$\frac{4}{m}$）²，
∴（m+n）（m-n）=（$\frac{4}{n}$+$\frac{4}{m}$）（$\frac{4}{n}$-$\frac{4}{m}$）=$\frac{4}{mn}$（m+n）•$\frac{4}{mn}$（m-n），
∵m≠n，
∴（mn）²=16，
∴mn=-4（舍）或mn=4，
即：mn=4．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是表示出AP，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键是利用等腰三角形的两腰建立方程求解，是一道中等难度的中考常考题．