Question

8．在平面直角坐标系中，点A（-4，0），B（0，3），将线段AB向右平移m（m为正数）个单位向下平移1个单位长度到CD，点A、B的对应点分别为C、D．
（1）直接写出点C（-4+m，-1），D（m，2）（用含m的式子表示）；
（2）连接AC、AD，若三角形ACD面积是三角形ABO面积的2倍，求m的值；
（3）如图2，在线段OA上取一点E（不与O、A重合），F为y轴负半轴上一点，且FD平分∠CDE，若∠ABE=∠DEO，∠BED=α，求∠ABE+2∠BFD的度数（结果用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）构建点平移的性质，即可写出C、D两点坐标；
（2）如图1中，过点C作MN∥x轴，作AM⊥MN，DN⊥MN．构建方程即可解决问题；
（3）如图2中，作EH∥AB，连接DO延长到G，．设∠ABE=∠DEO=y，∠FDE=∠FDC=x，∠BFD=z．想办法构建方程组即可解决问题．

解答 解：（1）∵点A（-4，0），B（0，3），将线段AB向右平移m（m为正数）个单位向下平移1个单位长度到CD，
∴C（-4+m，-1），D（m，2），
故答案为-4+m，-1，m，2．

（2）如图1中，过点C作MN∥x轴，作AM⊥MN，DN⊥MN．

由题意：$\frac{1}{2}$（1+3）•（m+4）-$\frac{1}{2}$•m•1-$\frac{1}{2}$•4•3=2•$\frac{1}{2}$•3•4，
解得m=$\frac{20}{3}$．

（3）如图2中，作EH∥AB，连接DO延长到G，．设∠ABE=∠DEO=y，∠FDE=∠FDC=x，∠BFD=z．

∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠ABE=∠BEH，∠HED=∠EDC，
∴∠BED=∠ABE+∠EDC，
∴α=y+2x     ①
∵∠EOG=∠DEO+∠EDO，∠GOF=∠BFD+∠ODF，
∴∠EOF=∠DEO+∠EDF+∠BFD，
∴x+y+z=90°    ②
由①②可得y+2z=180°-α，
∴∠ABE+2∠BFD=180°-α．

点评 本题考查三角形综合题、平行线的性质、三角形的面积、三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．