Question

7．已知抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），C（1，4），与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式
（2）点F在第三象限的抛物线上，且S_△BEF=15，求点F的坐标
（3）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AE交抛物线于点Q，若以A，P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点Q的坐标；如果没有，请通过计算说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线解析式y=ax²+bx+c，把点A（-1，0），B（3，0），C（1，4），分别代入求出a，b，c的值即可求出抛物线的解析式；
（2）设x轴上有一点G，使得_S△EGB=15，易求点G的坐标，过点G作GF∥BE，交第三象限抛物线于点F，求出直线GF解析式，即可求出点F的坐标；
（3）分点P在点Q的左边和右边两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等，从点A、C的坐标关系，用点P的坐标表示出点Q的坐标，然后把点Q的坐标代入抛物线解析式求解即可．

解答 解：
（1）设抛物线解析式y=ax²+bx+c，把点A（-1，0），B（3，0），C（1，4）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{0=9a+3b+c}\\{4=16a+4b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式是y=-x²+2x+3；
（2）设x轴上有一点G，使得_S△EGB=15，
∵EO=3，
∴BG=10，
∵BO=3，
∴OG=7，
∴点G坐标是（-7，0），
过G作GF∥BE，交第三象限抛物线于点F，
设直线BE的解析式为y=kx+b，
由点B（3，0），点E坐标（0，3）可得y=-x-3，
∴直线GF解析式为y=-x-7，
联立抛物线和直线GF的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-x-7}\end{array}\right.$，
解得：x=-2，y=-5或x=5，y=12，
∵点F在第三象限的抛物线上，
∴点F的坐标是（-2，-5）；
（3）∵直线l∥AC，
∴PQ∥AC且PQ=AC，
∵A（-1，0），C（0，3），
∴设点P的坐标为（x，0），
则①若点Q在x轴上方，则点Q的坐标为（x+1，3），
此时，-（x+1）²+2（x+1）+3=3，
解得x₁=-1（舍去），x₂=1，
所以，点Q的坐标为（2，3），
②若点Q在x轴下方，则点Q的坐标为（x-1，-3），
此时，-（x-1）²+2（x-1）+3=-3，
整理得，x²-4x-3=0，
解得x₁=2+$\sqrt{7}$，x₂=2-$\sqrt{7}$，
所以，点Q的坐标为（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3），
综上所述，点Q的坐标为（2，3）或（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）．

点评 本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与x轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的对边平行且相等的性质，（2）确定出点F的位置是解题的关键，（3）难点在于分情况讨论．