已知点P(m.n)是抛物线沿y=-$\frac{1}{4}$x2-2上的一个动点.点A的坐标为．[特例探究](1)如图1.直线l过点Q且平行于x轴.过P点作PB⊥l.垂足为B.连接PA,①当m=0时.PA=1.PB=1,②当m=2时.PA=2.PB=2,[猜想验证](2)对于m取任意一实数.猜想PA与PB的大小关系.并证明你的猜想,[拓展应用]的结论解决下列问题:若动点P和点Q的直线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知点P（m，n）是抛物线沿y=-$\frac{1}{4}$x²-2上的一个动点，点A的坐标为（0，-3）．
【特例探究】（1）如图1，直线l过点Q（0，-1）且平行于x轴，过P点作PB⊥l，垂足为B，连接PA；
①当m=0时，PA=1，PB=1；
②当m=2时，PA=2，PB=2；
【猜想验证】（2）对于m取任意一实数，猜想PA与PB的大小关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】（3）请利用（2）的结论解决下列问题：
若动点P和点Q（0，-1）的直线交抛物线于另一点D，且PA=4AD，求直线PQ的解析式（图2为备用图）

分析（1）①求得A、P、B的坐标即可求得；②求得A、P、B的坐标即可求得；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，设P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），则B（m，-1），然后根据两点间的距离公式计算出PA和PB，从而可判断它们相等；
（3）过点Q（0，-1）作直线l平行于x轴，作PB⊥l于B，DE⊥l于E，如图3，由（1）得PB=PA，DE=DA，再证明△QDE∽△QPB，利用相似比得到关于DE，PB的数量关系，设P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），则B（m，-1），PB=$\frac{1}{4}$m²+1，易得E点坐标为（$\frac{1}{4}$m，-1），D点坐标为[$\frac{1}{4}$m，-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$m）²-2]，则ED=$\frac{1}{64}$m²+1，然后根据DE和PB的数量关系列方程$\frac{1}{4}$m²+1=4（$\frac{1}{64}$m²+1），解方程求出m，从而得到P点坐标，最后利用待定系数法求直线PQ的解析式．

解答解：（1）①当m=0时，则P（0，n），
代入y=-$\frac{1}{4}$x²-2得，n=-2，
∴P（0，-2），
∴B点与Q点重合，
∵点A（0，-3），点Q（0，-1），
∴PA=1，PB=1．
②当m=2时，则P（2，n），
代入y=-$\frac{1}{4}$x²-2得，n=-3，
∴P（2，-3），
∵点A（0，-3），点Q（0，-1），
∴PA=$\sqrt{{2}^{2}+{0}^{2}}$=2，PB=2；
故答案为：1，1；2，2；
（2）猜想PA与PB相等．理由如下：
理由如下：设P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），则B（m，-1），
∵PA=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}m-2+3）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
PB=-1-（-$\frac{1}{4}$m²-2）=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴PA=PB．
②过点Q（0，-1）作直线l平行于x轴，作PB⊥l于B，DE⊥l于E，如图3，由（1）得PB=PA，DE=DA，
∵PA=4AD，
∴PB=4DE，
∵DE∥PB，
∴△QDE∽△QPB，
∴$\frac{QE}{QB}=\frac{DE}{PB}$=$\frac{1}{4}$，
设P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），则B（m，-1），PB=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴E点坐标为（$\frac{1}{4}$m，-1），D点坐标为[$\frac{1}{4}$m，-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$m）²-2]，
∴ED=-1+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$m）²+2=$\frac{1}{64}$m²+1，
∴$\frac{1}{4}$m²+1=4（$\frac{1}{64}$m²+1），解得m₁=4，m₂=-4，
∴P点坐标为（4，-6）或（-4，-6），
当P点坐标为（4，-6）时，直线PQ的解析式为y=-$\frac{5}{4}$x-1，
当P点坐标为（-4，-6）时，直线PQ的解析式为y=$\frac{5}{4}$x-1，
即直线PQ的解析式为y=$\frac{5}{4}$x-1或y=-$\frac{5}{4}$x-1．