Question

如图，直线y=x+b与二次函数y=x²+x-4交于A、B两点，与y轴交于点C，是否存在这样的b，使得△AOB是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：首先求出两函数交点坐标，进而表示出AO，BO，AB的长，利用勾股定理求出即可．

解答：解：∵直线y=x+b与二次函数y=x²+x-4，
∴x+b=x²+x-4，
解得：x₁=

b+4

，x₂=-

b+4

，
可以求得A、B的交点坐标分别为：
B﹙

b+4

，

b+4

+b﹚，A﹙-

b+4

，-

b+4

+b﹚，
∵∠AOB=90°，
∴由勾股定理得：
OA²+OB²=AB²，
∴（-

b+4

）²+（-

b+4

+b）²+(

b+4

)2+（

b+4

+b）²=（2

b+4

）²+（

b+4

+b+

b+4

-b）²，
∴b²-2b-8=0
解得：b₁=4或b₂=-2．

点评：此题主要考查了二次函数的性质以及勾股定理等知识，得出关于b的方程是解题关键．