Question

在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m，

3

m）（m为非负数），则CA+CB的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：分别得到点C的坐标所在直线，点A关于点C的坐标所在直线的对称点的坐标A′所在直线AA′的解析式，求得两条直线的交点，进一步得到A′点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求解．

解答：解：如图所示：
∵点C的坐标为（m，

3

m）（m为非负数），
∴点C的坐标所在直线为y=

3

x，
点A关于直线y=

3

x的对称点的坐标为A′，则AA′所在直线为y=-

3

3

x+b，
把点A的坐标（ 2，0 ）代入得-

3

3

×2+b=0，
解得b=

2 3

3

．
故AA′所在直线为y=-

3

3

x+

2 3

3

．
联立C的坐标所在直线和AA′所在直线可得

y= 3 x y=- 3 3 x+ 2 3 3

，
解得

x= 1 2 y= 3 2

，
∴C的坐标所在直线和AA′所在直线的交点M的坐标为（

1

2

，

3

2

），
∴点A关于直线y=

3

x的对称点的坐标为（-1，

3

），
∴A′B=

(4+1)2+(0- 3 )2

=

28

=2

7

，即CA+CB的最小值．
故答案为：2

7

．

点评：本题考查轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．