Question

如图，点O为正方形ABCD的中心，AB=12，点E在BC边上，以AE为边作等边三角形AEF．
（1）若点F在CD边上，求BE的长；
（2）若点O也是等边三角形AEF的中心，求BE的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）证得Rt△ABE≌Rt△ADF，得出DF=BE，设BE为x，再进一步利用勾股定理求得EF，最后在直角三角形△ABE中利用勾股定理，建立方程求得结论；
（2）利用O为正方形ABCD的中心和等边三角形AEF的中心，求得OA，O到等边三角形AE的距离，进一步求得AE的长，在直角三角形△ABE中利用勾股定理求得结论．

解答：解：（1）如图，

∵四边形ABCD是正方形，△AEF为等边三角形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，AE=EF=FA，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AB=AD AE=AF

∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴DF=BE，
∴CE=CF，
设BE=x，则CE=CF=12-x，
则EF=

CE2+CF2

=

2

（12-x）；
在Rt△ABE中，
AB²+BE²=AE²，
即12²+x²=[

2

（12-x）]²
整理得；
x²-48x+144=0，
解得x₁=24-12

3

，x₂=24+12

3

（不合题意舍去），
即BE=24-12

3

，
（2）如图，

过点O作OG⊥AB、OH⊥AE，垂足分别为G、H，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴AG=OG=

1

2

AB=6
∴OA=

AG2+OG2

=6

2

，
∵O是等边△AEF的中心，
∴∠AOH=60°，AH=

1

2

AE，
∴∠OAH=30°，
∴OH=

1

2

OA=3

2

，
则AH=

OA2-OH2

=3

6

∴AE=6

6

，
在△AEB中，
BE=

AE2-AB2

=6

2

．

点评：此题考查正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，以及正多边形中点的意义等知识点．