Question

1．已知直线l₁：y=-x$+\sqrt{2}$k，双曲线C：y=$\frac{{k}^{2}}{{x}^{2}}$，定点F1（$\sqrt{2}$k，$\sqrt{2}$k）．
（1）若k=$\sqrt{2}$，求直线l₁，双曲线C的解析式，定点F的坐标；
（2）在（1）的条件下，在双曲线C上任取一点P（x，y），过P作直线l1的垂线段PM，求$\frac{P{F}_{1}}{PM}$的值；
（3）若k为大于0的任意实数，在双曲线C上任取一点P（x，y），过P作直线l₁的垂线段PM，判断$\frac{P{F}_{1}}{PM}$的值是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由．

Answer 1

分析 （1）只需把k=$\sqrt{2}$代入直线、双曲线的解析式和点F₁的坐标，就可解决问题；
（2）易证△AOB是等腰直角三角形，过点P作PQ∥AB交x轴于点Q，过点Q作QN⊥AB于N，如图，根据平行线间的距离处处相等可得PM=QN．可设PQ的解析式为y=-x+n，设点P的横坐标为a，由此可求出点Q的坐标及AQ的长（用a的代数式表示），在Rt△ANQ中运用三角函数可求出QN（即PM）（用a的代数式表示），然后运用两点之间距离公式可求出PF₁（用a的代数式表示），就可求出$\frac{P{F}_{1}}{PM}$的值；
（3）易证△AOB是等腰直角三角形，过点P作PQ∥AB交x轴于点Q，过点Q作QN⊥AB于N，如图，根据平行线间的距离处处相等可得PM=QN．可设PQ的解析式为y=-x+n，设点P的横坐标为a，由此可求出点Q的坐标及AQ的长（用a和k的代数式表示），在Rt△ANQ中运用三角函数可求出QN（即PM）（用a和k的代数式表示），然后运用两点之间距离公式可求出PF₁（用a和k的代数式表示），就可求出$\frac{P{F}_{1}}{PM}$的值．

解答 解：（1）当若k=$\sqrt{2}$时，
直线l₁的解析式为y=-x+2，双曲线C的解析式为y=$\frac{2}{x}$，定点F₁的坐标为（2，2）；

（2）∵A、B分别是直线y=-x+2与x轴、y轴的交点，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA=OB=2．
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°．
过点P作PQ∥AB交x轴于点Q，过点Q作QN⊥AB于N，如图所示，
则有PM=QN．
可设PQ的解析式为y=-x+n．
设点P的横坐标为a，则y_P=$\frac{2}{a}$，
∴$\frac{2}{a}$=-a+n，
∴n=$\frac{2}{a}$+a，
∴直线PQ的解析式为y=-x+$\frac{2}{a}$+a．
当y=0时，-x+$\frac{2}{a}$+a=0，
∴x=$\frac{2}{a}$+a，
∴Q（$\frac{2}{a}$+a，0），OQ=$\frac{2}{a}$+a，
∴AQ=$\frac{2}{a}$+a-2，
∴PM=QN=AQ•sin∠QAN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{2}{a}$+a-2）．
∵P（a，$\frac{2}{a}$），F₁（2，2），
∴PF₁=$\sqrt{（a-2）^{2}+（\frac{2}{a}-2）^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}-4a+4+\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{8}{a}+4}$
=$\sqrt{（a+\frac{2}{a}）^{2}-4（a+\frac{2}{a}）+4}$
=$\sqrt{（a+\frac{2}{a}-2）^{2}}$
=$\frac{2}{a}$+a-2．
∴PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PF₁，
∴$\frac{P{F}_{1}}{PM}$=$\sqrt{2}$；

（3）$\frac{P{F}_{1}}{PM}$的值是定值．
∵A、B分别是直线y=-x+$\sqrt{2}$k与x轴、y轴的交点，
∴A（$\sqrt{2}$k，0）、B（0，$\sqrt{2}$k），
∴OA=OB=$\sqrt{2}$k．
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°．
过点P作PQ∥AB交x轴于点Q，过点Q作QN⊥AB于N，如图所示，
则有PM=QN．
可设PQ的解析式为y=-x+n．
设点P的横坐标为a，则y_P=$\frac{{k}^{2}}{a}$，
∴$\frac{{k}^{2}}{a}$=-a+n，
∴n=$\frac{{k}^{2}}{a}$+a，
∴直线PQ的解析式为y=-x+$\frac{{k}^{2}}{a}$+a，
当y=0时，-x+$\frac{{k}^{2}}{a}$+a=0，
∴x=$\frac{{k}^{2}}{a}$+a，
∴Q（$\frac{{k}^{2}}{a}$+a，0），OQ=$\frac{{k}^{2}}{a}$+a，
∴AQ=$\frac{{k}^{2}}{a}$+a-$\sqrt{2}$k，
∴PM=QN=AQ•sin∠QAN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{{k}^{2}}{a}$+a-$\sqrt{2}$k）．
∵P（a，$\frac{{k}^{2}}{a}$），F₁（$\sqrt{2}$k，$\sqrt{2}$k），
∴PF₁=$\sqrt{（a-\sqrt{2}k）^{2}+（\frac{{k}^{2}}{a}-\sqrt{2}k）^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{k}^{4}}{{a}^{2}}-2\sqrt{2}k（a+\frac{{k}^{2}}{a}）+4{k}^{2}}$
=$\sqrt{（a+\frac{{k}^{2}}{a}-\sqrt{2}k）^{2}}$
=a+$\frac{{k}^{2}}{a}$-$\sqrt{2}$k，
∴PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PF₁，
∴$\frac{P{F}_{1}}{PM}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了直线及反比例函数图象上点的坐标特征、运用待定系数法求直线的解析式、两直线平行的问题、平行线间的距离处处相等、三角函数、两点之间的距离公式等知识，利用平行线间的距离处处相等将PM转化为QN，是解决本题的关键；运用两点之间距离公式时，将根号内的代数式配成完全平方是解决本题的难点．