Question

16．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，过E作EH∥AB，交BC于H，求证：AF=EH．

Answer 1

分析 先证明△AEC≌△HCE得AE=EH，再证明AF=AE即可．

解答 证明：∵AD⊥BC，∠BAC=90°
∴∠ADC=90°，
∵∠B+∠ACB=90°，∠DAC=∠ACB=90°，
∴∠B=∠DAC，
∵EH∥AB，
∴∠B=∠EHC=∠CAE，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACE=∠HCE，
在△ACE和△HCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠EHC}\\{∠ACE=∠HCE}\\{EC=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△HCE，
∴AE=EH，
∵∠AFC=∠B+∠FCB，∠AEF=∠ACE+∠CAD，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
∴AF=HE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．