题目内容
9．
如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
分析 （1）利用待定系数法求抛物线的表达式；
（2）以CD为腰的等腰三角形有三个：①②以D为圆心，以CD为半径画弧交对称轴于P1、P2，③以C为圆心，以CD为半径画弧，交对称轴于P3，分别求出这三个点的坐标；
（3）先根据对称性求点B的坐标为（4，0），再求直线BC的解析式，设出点E和F的坐标，表示EF的长；则四边形BDCF的面积等于两个三角形面积的和，其中△BDC是定值，△BFC的面积=铅直高度与水平宽度的积，代入面积公式可求得S的解析式，求最值即可．
解答 
解：（1）把A（-1，0），C（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x2+mx+n中得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{1}{2}-m+n}\\{2=n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为：$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2$；
（2）$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{25}{8}$；
∴D（$\frac{3}{2}$，0），
在Rt△OCD中，OC=2，OD=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理得：CD=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
①当CD=DP1时，△PCD是等腰三角形，
∴P1（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
②当CD=DP2时，△PCD是等腰三角形，
∴P2（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$），
③当CD=CP3时，△PCD是等腰三角形，
过C作CE⊥DP1于E，
∵C（0，2），
∴DE=OC=2，
∵CD=CP3，
∴DE=P3E=2，
∴P3（$\frac{3}{2}$，4），
综上所述，P点的坐标为：P1（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P2（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$），P3（$\frac{3}{2}$，4）；
（3）如图2，
∵A（-1，0），对称轴是：x=$\frac{3}{2}$，
∴B（4，0），
设BC的解析式为：y=kx+b，
把B（4，0），C（0，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设E$（m，-\frac{1}{2}m+2）$，F（$m，-\frac{1}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m+2）$，
∴EF=-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+2m，
∴S四边形BDCF=S△BCD+S△BFC=$\frac{1}{2}$BD•OC+$\frac{1}{2}$EF•OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2+$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+2m）×4，
S=-m2+4m+2.5，
=-（m-2）2+6.5（0＜m＜4），
当m=2时，-$\frac{1}{2}$m+2=-$\frac{1}{2}$×2+2=1，
∴当m=2时，四边形CDBF的面积最大，最大为6.5，此时E（2，1）．
点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，第二问构建等腰三角形时采用分类讨论的思想，但要注意是构建以CD为腰的等腰三角形；在第三问中，确定四边形面积的最大值时，运用面积和求四边形的面积，同时还利用了函数的解析式表示点的坐标，这在函数题中经常运用，要熟练掌握．
如图，已知AB=CD，AD=CB，求证：△ABD≌△CDB．
如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E．求证△AED是等腰三角形．
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：①abc＜0；②b2-4ac＞0；③m＞2；④当x＜0时，y随x的增大而增大．其中正确结论的个数是（ ）