Question

14．已知：关于x的一元二次方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0①．
（1）求证：方程①有两个实数根；
（2）若m-n-1=0，求证：方程①有一个实数根为1．

Answer 1

分析 （1）根据判别式△=（n-2m）²-4（m²-mn）≥0，然后根据判别式的意义即可得到结果；
（2）由已知得n=m-1，代入方程，将方程左边因式分解求x的值即可；

解答 解：（1）∵△=（n-2m）²-4（m²-mn）=n²-4mn+4m²-4m²+4mn=n²≥0，
∴方程①有两个实数根；
（2）证明：由已知得n=m-1，代入方程①，得
x²-（m+1）x+m²-m（m-1）=0，
整理，得x²-（m+1）x+m=0，即（x-1）（x-m）=0，
解得x₁=1，x₂=m，即方程①有一个实数根为1．

点评 此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．