Question

19．如果6^m=a，那么我们称m为a的郎格数，记为m=f（a）．有上述定义可知：6^m=a和m=f（a）中的变量a与m所表示的关系为同一关系，并且有性质：若a、b均为正数，则f（ab）=f（a）+f（b），f（$\frac{a}{b}$）=f（a）-f（b）．
（1）根据郎格数的定义可得：
f（6）=1；f（$\frac{1}{6}$）=-1；f（$\frac{1}{36}$）=-2；
（2）根据郎格数的性质可得：
$①\frac{f（{a}^{a}）}{f（a）}$=a（a为正数）
②若f（2）=x（x≠0），则f（3）=1-x，f（4）=2x．
（3）若下表中与数a对应的郎格数f（a）有且只有一个是不正确的，请找出错误的郎格数，说明理由并改正．

a	1.5	3	4	9	16	24
f（a）	2x+y	$\frac{1+2x+y}{2}$	1-2x-y	1+2x+y	2-4x-2y	-2x-y

Answer 1

分析 （1）根据定义由6¹=6、6^-1=$\frac{1}{6}$、6^-2=$\frac{1}{36}$可得f（6）、f（$\frac{1}{6}$）、f（$\frac{1}{36}$）的值；
（2）①将$\frac{f（{a}^{a}）}{f（a）}$根据性质写成$\frac{f（a）+f（a）+…+f（a）}{f（a）}$可得；
②根据性质将f（3）写成f（$\frac{6}{2}$）=f（6）-f（2），f（4）写成f（2×2）=f（2）+f（2）可得；
（3）分别假设f（3）≠$\frac{1+2x+y}{2}$、f（4）≠1-2x-y推得f（9）、f（16），根据有且只有一个错误可排除这四个，再根据以上f（6）、f（4）的值推出f（1.5）、f（24），即可判断．

解答 解：（1）根据定义，∵6¹=6，∴f（6）=1；
∵6^-1=$\frac{1}{6}$，∴f（$\frac{1}{6}$）=-1；
∵6^-2=$\frac{1}{36}$，∴f（$\frac{1}{36}$）=-2．
（2）$①\frac{f（{a}^{a}）}{f（a）}$=$\frac{f（a•a•…•a）}{f（a）}$=$\frac{f（a）+f（a）+…+f（a）}{f（a）}$=$\frac{af（a）}{f（a）}$=a；
②∵f（2）=x（x≠0），
∴f（3）=f（$\frac{6}{2}$）=f（6）-f（2）=1-x；
f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2x．
（3）假设f（3）≠$\frac{1+2x+y}{2}$，则有f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2f（3）≠1+2x+y．
∵有且只有一个错误，
∴f（3）=$\frac{1+2x+y}{2}$，f（9）=1+2x+y都是正确的．
假设f（4）≠1-2x-y，则有f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2f（4）≠2-4x-2y．
∵有且只有一个错误，
∴f（4）=1-2x-y，f（16）=2-4x-2y都是正确的．
∵f（6）=1，
∴f（1.5）=f（$\frac{6}{4}$）=1-（1-2x-y）=2x+y，
f（24）=f（4×6）=f（4）+f（6）=1-2x-y+1=2-2x-y≠-2x-y，
∴f（24）=-2x-y是不正确的，
f（24）应为2-2x-y．
故答案为：（1）1，-1，-2；（2）①a，②1-x，2x．

点评 本题主要考查整式的运算和新定义下的定义及性质得运用，结合题目运用性质进行变形求值是本题的根本，利用已求式子的值作为已知条件再加以运用是解题的一种手段．