Question

9．如图，圆形铁环向前滚动时，铁环钩MF保持与铁环相切，已知铁环的半径为20厘米，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=$\frac{3}{5}$．
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于52厘米，求铁环钩MF的长度．

Answer 1

分析 （1）过M作AC平行的直线，与OA，FC分别相交于H，N，根据已知条件求出HM，从而得出OH和MB，即可得出点M离地面AC的高度BM；
（2））根据∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN，得出FN=$\frac{3}{5}$FM，在Rt△FMN中，根据勾股定理FM，从而得出答案．

解答 解：（1）过M作AC平行的直线，与OA，FC分别相交于H，N．
在Rt△OHM中，
∵∠OHM=90°，OM=20，
∴HM=OM×sinα=12，
∴OH=16，MB=HA=20-16=4（cm），
∴铁环钩离地面的高度为4cm．

（2）∵∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，
∠FMN=∠MOH=α，
∴$\frac{FN}{FM}$=sinα=$\frac{3}{5}$，即得FN=$\frac{3}{5}$FM．
在Rt△FMN中，∠FNM=90°，
MN=BC=AC-AB=52-15=40（cm），
由勾股定理FM²=FN²+MN²，即FM²=（$\frac{3}{5}$FM）²+40²，
解得FM=50（cm），
则铁环钩的长度FM为50cm．

点评 此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、特殊角的三角函数值，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．