Question

1．如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上找点E，连接ED，使得∠1=∠2，过点A作⊙O的切线与ED的延长线相交于点G
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证得∠ODE=90°，即可证得结论；
（2）根据切割线定理和勾股定理即可求得AG的长．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠OCF+∠OFC=90°，
∵∠1=∠OFC，
∴∠1+∠OCF=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCF=∠ODF，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠ODF=90°，
即∠ODE=90°，
∴ED是⊙O的切线；
（2）∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，
∴OF=1，BF=2，
∴EF=2+BE，
∵∠1=∠2，
∴DE=EF，
∴DF=2+BE，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE²=BE•AE，
∴（2+BE）²=BE•（6+BE），
解得BE=2，
∴AE=6+2=8，DE=EF=2+2=4，
∵GA、ED是⊙O的切线，
∴GA=GD，
设AG=x，则GE=x+4，
在RT△AGE中，AG²+AE²=GE²，
∴x²+8²=（x+4）²，
解得x=6，
∴AG=6．

点评 本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．