Question

10．已知关于x的方程x²+（k-2）x+$\frac{1}{2}$k-3=0
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根．
（2）若这个方程的两个实数根x₁，x₂满足2x₁+x₂=2k+1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出根的判别式b²-4ac=（k-2）²-4×1×（$\frac{1}{2}$k-3）=（k-3）²+7＞0，即可得出结论；
（2）由根与系数的关系得出x₁+x₂=-（k-2），再由已知条件得出x₁=3k-1，把x₁代入方程得出关于k的方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵b²-4ac=（k-2）²-4×1×（$\frac{1}{2}$k-3）
=k²-4k+4-2k+12
=k²-6k+16
=（k-3）²+7＞0，
∴无论k取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：x₁+x₂=-（k-2），
2x₁+x₂=x₁+（x₁+x₂）=2k+1，∴x₁+2-k=2k+1，
∴x₁=3k-1，
把x₁代入方程得：
（3k-1）²+（k-2）（3k-1）+$\frac{1}{2}$k-3=0，
整理得：12k²-$\frac{25}{2}$k=0，
解得：k=0，或k=$\frac{25}{24}$．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、配方法、一元二次方程的解法；熟练掌握根的判别式和根与系数的关系，并能进行推理计算是解决问题的关键．