如图.点P在射线AB的上方.且∠PAB=45°.PA=2.点M是射线AB上的动点.现将点P绕点A按顺时针方向旋转60°.到点Q.将点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N.连结AQ.PM.PN.作直线QN．(1)求证:AM=QN,(2)直线QN与以点P为圆心.以PN的长为半径的圆是否存在相切的情况?若存在.请求出此时AM的长.若不存在.请说明理由,(3)当以点P为圆心.以PN的长为半径� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，点P在射线AB的上方，且∠PAB=45°，PA=2，点M是射线AB上的动点（点M不与点A重合），现将点P绕点A按顺时针方向旋转60°，到点Q，将点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N，连结AQ，PM，PN，作直线QN．
（1）求证：AM=QN；
（2）直线QN与以点P为圆心，以PN的长为半径的圆是否存在相切的情况？若存在，请求出此时AM的长，若不存在，请说明理由；
（3）当以点P为圆心，以PN的长为半径的圆经过点Q时，直接写出劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积．

分析（1）根据旋转的旋转判断出△APQ为等边三角形，再判断出∠APM=∠QPN，从而得出△APM≌△QPN即可；
（2）由直线和圆相切得出∠AMP=∠QNP=90°，再用勾股定理即可求出结论；
（3）先判断出PA=PQ，再判断出PQ=PN=PM，进而求出∠QPM=30°，即可求出∠QPN=90°，最后用扇形的面积公式即可．

解答（1）证明：如图1，连接PQ，
由点P绕点A按顺时针方向旋转60°到点Q，
可得，AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ为等边三角形，
∴PA=PQ，∠APQ=60°，
由点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N，
可得，PM=PN，∠MPN=60°，
∴∠APM=∠QPN，
则△APM≌△QPN（SAS），
∴AM=QN．
（2）解：存在．
如图2，由（1）中的证明可知，△APM≌△QPN，
∴∠AMP=∠QNP，
∵直线QN与以点P为圆心，以PN的长为半径的圆相切，
∴∠AMP=∠QNP=90°，
即：PN⊥QN，
在R△APM中，∠PAB=45°，PA=2，
∴AM=$\sqrt{2}$．
（3）解：如图3，由（1）知，△APQ是等边三角形，
∴PA=PQ，∠APQ=60°，
∵以点P为圆心，以PN的长为半径的圆经过点Q，
∴PN=PQ=PA，
∵PM=PN，
∴PA=PM，
∵∠PAB=45°，
∴∠APM=90°，
∴∠MPQ=∠APM-∠APQ=30°，
∵∠MPN=60°，
∴∠QPN=90°，
∴劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积是扇形QPN的面积，而此扇形的圆心角∠QPN=90°，半径为PN=PM=PA=2，
∴劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积=$\frac{90π•{2}^{2}}{360}$=π．