Question

10．如图，二次函数y=ax²-2amx-3am²（a，m是常数，且m＜0）的图象与x轴交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），作CD∥AB交抛物线于点D，连接BD，过点B作射线BE交抛物线于点E，使得AB平分∠DBE．
（1）求点A，B的坐标；（用m表示）
（2）$\frac{BD}{BE}$是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（3）抛物线y=ax²-2amx-3am²的顶点为F，直线DF上是否存在唯一一点M，使得∠OMA=90°？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用因式分解法即可得出点A，B坐标；
（2）先表示出DH，BH，再利用角平分线判断出△BDH∽△BEG，即可得出结论；
（3）先求出点D，F坐标，进而得出直线DF解析式，求出OP，PN，再取OA的中点，求出MN，OM，由存在唯一一点得出PN和PO都和⊙M相切，即PM是∠OPN的平分线，用角平分线定理即可求出m．

解答 解：（1）由ax²-2amx-3am²=0得，x₁=-m，x₂=3m，
则B（-m，0），A（3m，0），

（2）$\frac{BD}{BE}$是定值，为$\frac{3}{5}$；
理由：过点D作DH⊥AB于H，过点E作EG⊥AB于G，
将点C（0，3）代入y=ax²-2amx-3am²得，
a=-$\frac{1}{{m}^{2}}$；
∴y=ax²-2amx-3am²=-$\frac{1}{{m}^{2}}$x²+$\frac{2}{m}$x+3，
∵CD∥AB，
∴点D的坐标为（2m，3），
∴OH=-2m，DH=3，
∴BH=-3m
∵AB平分∠DBE，
∴∠DBH=∠EBG，又∠DHB=∠EGB=90°，
∴△BDH∽△BEG，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{DH}{EG}=\frac{BH}{BG}$，
设E（n，-$\frac{1}{{m}^{2}}$×n²+$\frac{2}{m}$×n+3），
∴OG=-n，EG=$\frac{1}{{m}^{2}}$×n²-$\frac{2}{m}$×n-3，
∴BG=-m-n，
∴$\frac{3}{\frac{1}{{m}^{2}}×{n}^{2}-\frac{2n}{m}-3}=\frac{-3m}{-m-n}$，
∴n=4m，
∴E（4m，5），
∵BH=BO+OH=-m-2m=-3m，BG=BO+OG=-m-4m=-5m，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{BH}{BG}=\frac{-3m}{-5m}=\frac{3}{5}$，

（3）存在，
理由：如图2，∵B（-m，0），A（3m，0），
∴F（m，4），
∵D（2m，3），
∴直线DF的解析式为y=-$\frac{1}{m}$x+5，
∴N（5m，0），P（0，5），
∴OP=5，PN=$\sqrt{（5m）^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{{m}^{2}+1}$
取OA的中点M，
∵A（3m，0），N（5m，0），
∴M（$\frac{3}{2}$m.0），
∴OM=-$\frac{3}{2}$m．MN=-$\frac{7}{2}$m，
假设直线DF上是存在唯一一点M，使得∠OMA=90°，
∴以OA为直径的⊙M与PN，PO相切，
∴PM是∠OPN的角平分线，
∴$\frac{PN}{OP}=\frac{MN}{OM}$，
∴$\frac{5\sqrt{{m}^{2}+1}}{5}=\frac{-\frac{7}{2}m}{-\frac{3}{2}m}$，
∴m=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$（舍）或m=-$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质和判定，角平分线的性质，作出辅助线是解本题的关键也是难点，此题用到方程的思想解决几何图形问题，是一道典型的题目．