Question

15．已知抛物线y=a（x²-cx-2c²）（a＞0，c＞0）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）探究与猜想：
①探究：
取A（-1，0），则点B坐标为（2，0），a=1，则点C的坐标为（0，-2）；取A（-2，0），若a=1，则点B的坐标为（4，0）；
②猜想：
OB=2OA，当ac=1时，OC=OB，请取点A（-c，0）验证你的猜想．
（2）如图，点R（0，n）在y轴负半轴上，直线RB交抛物线于另一点D，直线RA交抛物线于E，若DR=DB，求点E的纵坐标m与n的关系式．

Answer 1

分析 先确定出点A，B，C的坐标；
（1）①将A的坐标代入，求出c即可得出点B的坐标，把a，c代入点C的坐标即可；
②直接求出OA，OB，找出OA，OB的关系，用OB=OC建立方程求出ac即可；
（3）利用DR=DB得出点D的坐标，而点D在抛物线上，即可得出R的坐标，进而求出直线AR的解析式即可得出点E的坐标即可．

解答 解：∵抛物线y=a（x²-cx-2c²）=a（x+c）（x-2c），
∴A（-c，0），B（2c，0），C（0，-2ac²），
（1）①当A（-1，0）时，∴-c=-1，
∴c=1，
∴2c=2，
∴B（2，0），
∵a=1，
∴-2ac²=-2×1×1=-2，
∴C（0，-2）；
当A（-2，0）时，∴-c=-2，
∴c=2，
∴2c=4，
∴B（4，0），
故答案为：（2，0），（0，-2），（4，0）；

②OB=2OA，ac=1时，OB=OC，
理由：∵A（-c，0），B（2c，0），
∴OA=c，OB=2c，
∴OB=2OA．
∵B（2c，0），C（0，-2ac²），
∴OB=2c，OC=2ac²，
∵OB=OC，
∴2c=2ac²，
∴ac=1，
故答案为：2，1；

（2）∵DR=DB，R（0，n），B（2c，0），
∴D（c，$\frac{1}{2}$n），
∵点D在抛物线y=a（x²-cx-2c²）上，
∴a（c²-c²-2c²）=$\frac{1}{2}$n，
∴n=-4ac²，
∴R（0，-4ac²），
∵A（-c，0），
∴直线AR的解析式为y=-4acx-4ac²①，
∵点E在抛物线y=a（x+c）（x-2c）②上，
联立①②得，E（-2c，4ac²），
∴点E的纵坐标m=4ac²=-1×（-4ac²）=-n．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了因式分解，待定系数法，求直线和抛物线的交点坐标的方法，解本题的关键是把抛物线的解析式y=a（x²-cx-2c²）=a（x+c）（x-2c），利用了方程的思想求解问题，是一道简单的题目．