题目内容
1．数学活动-旋转变换（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°，得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度．
分析 （1）根据旋转变换的性质得到∠A′B′C=∠ABC=130°，∠BCB′=50°，CB=CB′，根据等腰三角形的性质求出∠A′B′B的大小；
（2）（Ⅰ）根据旋转变换的性质求出∠A′B′B=90°，根据切线的判定定理证明；
（Ⅱ）根据旋转变换的性质和勾股定理计算即可．
解答 解：（1）由旋转变换的性质可知，∠A′B′C=∠ABC=130°，∠BCB′=50°，CB=CB′，
∴∠CB′B=65°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C-∠CB′B=65°；
（2）（Ⅰ）直线BB′与⊙A′相切，
∵∠A′B′C=∠ABC=150°，∠BCB′=60°，CB=CB′，
∴∠CB′B=60°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C-∠CB′B=90°，
∴直线BB′与⊙A′相切；
（Ⅱ）在Rt△A′B′B中，∠A′B′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，
由勾股定理得，A′B=$\sqrt{AB{′}^{2}+B′{B}^{2}}$=$\sqrt{34}$．
点评 本题考查的是直线与圆的位置关系、旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、旋转变换的性质是解题的关键．
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